LIMITES TRIGONOMETRICOS EJERCICIOS RESUELTOS

Límites de las funciones trigonométricas ejercicios , ejemplos , preguntas, teoría , demostraciones y problemas resueltos

LIMITES TRIGONOMETRICOS ASPECTOS TEORICOS BASICOS Y EJEMPLOS DESARROLLADOS
















Qué significa el símbolo lim f (x) = f!

Significa que una función f (x) tiende, o se aproxima, a Q ,cuando x está muy próximo a e (diferente de e) o dicho de otra manera, parax próximo a e, pero distinto a e, f(x) está próximo a Q •
En la figura se ha ilustrado esta idea: la curva representa la gráfica de la función f. El número e aparece en el eje X, y el límite Q , en el eje Y. Nótese que cuando evaluamos la función para valores próximos a e, f(x) se aproxima a Q •

Al tomar el límite cuando x se aproxima a e, no importa el hecho de que f no esté definida en e, ni qué valor toma en ese punto si lo está. Lo único que importa es cómo f está definido cerca de c.
Por ejemplo, en la figura 1 0.2(b) se tiene la gráfica de la función f: es discontinua, pero f está definida en e; sin embargo, se verifica que Ji m f(x) = Q -,puesto que, como se observa en la figura 10.2(c),
X 4 C
cuando x se aproxima a e, f(x) se aproxima a Q .

Los números x, que están cerca de e, se dividen en dos clases: los que están a la izquierda de e y los que están a la derecha de e, por ejemplo:
lim f(x) = Q...
X --+C
lim f (x) = Q.. .
X4C+
Significa que cuando x se aproxima a e por la izquierda f(x) se aproxima a Q, o el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a e es Q .
Significa que cuando x se. aproxima a e por la derecha f(x) se aproxima a Q o el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a e es Q .

En el ejemplo anterior, se observa que los límites por la izquierda y por la derecha coinciden.
En cambio, en la figura 1 0.2(d) se tiene la gráfica de una función f; nótese que los límites por la derecha e izquierda (límites laterales), para valores de x próximos a 2, no están coincidiendo o no tienen el mismo valor real.

Definición Formal del Límite de una Función
Sea f: 1 s;; R -? R una función cuyo dominio es un intervalo abierto I el cual contiene al punto
x =e (también puede darse el caso de que x=c no pertenezca a 1).
El límite de f(x) cuando x tiende a e es Q, y se escribe limf(x) = Q
si y solo si para cada e> O existe un 8 >O tal que
si O < Jx- cJ < 8 , entonces 1 f(x)- Q 1 <e
En la figura 10.6 se ilustra esta definición

Definición (continuidad lateral)
Una función fes
l. continua por la izquierda de e, si y solo si lim f(x) = f( e)
X-7C
11. continua por la derecha de e, si y solo si lim f(x) = f( e)
\ 4C-+
En la figura 1 0.9(a), tenemos un ejemplo de continuidad por la derecha de cero; y en la
figura 1 0.9(b) tenemos un ejemplo de continuidad por la izquierda de cero.

Definición (continuidad en un intervalo cerrado)
Para una función f definida sobre un intervalo [a; b], diremos que fes continua en dicho intervalo si
se cumplen las siguientes condiciones:
l. Continuidad en cada punto e del intervalo abierto (a; b)
11. Continuidad por la derecha de a, y.
111. Continuidad por la izquierda de b.
Por ejemplo, la función f(x)"" are e os x (cuya gráfica la tenemos en la figura 10.1 O). Es continua en
el intervalo cerrado [ -1; 1] , puesto que es continua en cualquier número de ( -1; !) , continua por la
derecha de - 1 y continua por la izquierda de 1.

Teorema de la función intermedia o de estricción
Si las funciones f, g y h están definidas en algún intervalo abierto 1, donde está contenido el
número e, excepto posiblemente en e mismo, y que f(x) :S: g(x) :S: h(x) para todo x en 1 para lo cual
x 1:- e, entonces si lim f(x) = lim h(x) = f
.\~e x~c
Por lo tanto lim g(x) = f
x-te
Para ilustrar este teorema, en la figura 10. 12 están representadas las gráficas de tres funciones f, g y
h. Se observa que, para x próximo a e, gesta "atrapada" entre fy h (los valores de estas funciones en el
mismo punto e no tienen importancia); además, se observa que cuandox tiende a e, f(x) y h(x) tienden
ambos al mismo límite e, entonces también g(x) tiende a Q

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS NOTABLES
A continuación, vamos a utilizar el teorema
de la función intermedia para demostrar límites
trigonométricos que serán de mucha utilidad para
cálculos posteriores.

LA POLÉMICA ENTRE LEIBNIZ Y NEWTON
la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia fue la prioridad de la invención
del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero
sobre quién habría descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado
del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de
ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de
ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis
independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento
continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la
misma -de su fluir-, mientras que Leibniz consideraba una cu rva como formada por
segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación
generaba la tangente en cada punto y de cuyo geometría
se obtiene la correspondiente relación entre las
diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos
es totalmente distinta.
Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el
concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la
década 1960-70, hasta la aparición del Análisis no estándar
de Abrahan Robinson La polémica en cuestión se fraguó
a finales del siglo XVII : por un lado Leibniz no había hecho
ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el
mismo Newton le había indicado que existían en sus
Epistolae- además que en Holanda -como le aseguró WallisGott(
ried Wilhelm Von Leibniz
(Alemania 1646-1716)
se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado
el primer libro sobre el cálculo : el Ano/yse des infiniment petits que redactó el Morquéz de
L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bemoulli y de cuya primero
edición podemos admirar una foto -nótese que no aparece el nombre de su autor por
ningún sitio- uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta
descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona.
El problema consistía en determinar la curva por lo que un cuerpo desciende en el
menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este
problema ya interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual
1

no es roro pues poro resolverlo se ...precisaba del cálcu lo-. Lo historia es como sigue.


En junio de l 696 de las Actas Eroditorum, Juan Bemoulli lanzó un reto a los mejores
matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -
el plazo original fue de seis meses pero a petición de Liebniz se amplió para que tuvieran
tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron
cinco soluciones: una de Leibniz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo,
una del conde Walter de Tschirnhaus/ del Marquéz de
L'Hospital y una anónima. Todas/ excepto la de L'Hospital
daban con la solución: la cicloide. 2Quién era ese autor
anónimo que escogió las Philosophical Transactions para
publicar su genial solución que sólo contenía 6 7 palabras?
Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli
exclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como
«Íreconozco al león por sus garras!» pues claro está que era
Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya
dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a
Newton en particular justo en el momento en que comenzaba
lo polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton
era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una
Isaac Newton
(Inglaterra 1642 - 1727)
carta de Leibniz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá
resolverlo -Newton entre ellos claro está- . Incluso años después, yo en plena polémica,
Leibniz en una reseña a la solución del problema afirmaba que el problema no podía ser
resuelto sin la ayuda de su recién inventado método que sólo aquellos que habían
profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli 1 L'Hospital
y Newton.
Como no podía ser~ otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya
no «hacia ciencia» sino que trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa . Según cuenta la
sobrina de Newton1 este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado
de la Casa de la Moneda y ten ía lista su solución 12 horas después -aunque lo que
probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema
unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la
memoria ese día- . Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto
el problema 2por qué no lo publicó? Como respuesta foral a esta pregunta tomaremos la
que dio Augusto de Margan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton
tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él/o había hecho».

El número e
Sean las funcione s f y g cuyas re glas de
correspondencias se dan a continuación
f(x) =(1 + x)~; g(x) =( 1 + ~ r
Para que f y g estén definidas en el campo
real, sus respectivas bases deben ser positivas y
diferentes de la unidad , es decir:
1
1+ x >O " x :f: O ; 1+-> 0 ; x:f:O
X
Por lo tanto, los dominios de f y g se dan a
continuación
Domf = (-1;0) u (0;+=); Domg = ( -=; - 1) u (0;+=)
Los gráficos de f y g se dan en la figura 10.15
(a) y figura 10.15 (b) respectivame nte :

LIMITES TRIGONOMETRICOS PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARATORIA PREUNIVERSITARIA










Problema

Demuestre que la longitud de una circunferencia de radio Res igual a 2nR y el área del círculo es nR 2

Problema 2
¿cuál es el área de la región limitada por la gráfica de la función y= senx y el eje X situado entre O y n?

Problema 3
Calcule el valor de los siguientes límites


Problema4
Calcule
. sen 7 x - sen 3x
Im------
x -->0 xcos3x

Halle hm , en termmos de las constantes m y a.


De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

LIMITES TRIGONOMETRICOS 43 PREGUNTAS CON RESPUESTAS








* Calcule el siguiente límite...


*  Sea la función definida con regla de
correspondencia f(x) = JCOSaX + x

,Jcosbx - x2 - 1
Determine el valor al cual se aproxima la función cuando x se aproxima a cero.

*  De fin ida la función con regla de correspondencia f(x) = e-x cosnx; luego, el
valor de lim [f(l) + f(2) + f(3) + f( 4) + ... + f(n)]
es

* En la circunferencia trigonométrica se toma en el arco AB (A en x +)(B en x-) el punto medio C1; en el arco BC1 el punto medio C2; en el arco C2C1 el punto medio C3; en el arco C2C3 el punto medio C4 y así sucesivamente.
Si el punto Cn cuando n ~ oo es el extremo del arco 8, halle cose.

* En un laboratorio de análisis de señales, se disponen de los generadores A; B y C que respectivamente y de manera simultánea empiezan a emitir señales de la forma sen2 3t ; cos2 2t; - cos2 t ; siendo t el parámetro tiempo. En el gráfico dado, se pide determinar el valor al que tiende la señal de salida en el punto P cuando t tiende a nn ;
n E l ·